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第1章 集合与函数1

1.1 集合与实数集1

1.1.1 集合及其运算1

1.1.2 实数的性质3

1.1.3 区间与邻域5

1.1.4 确界与确界原理5

习题1.1(附答案与提示)7

1.2 映射与函数9

1.2.1 映射9

1.2.2 一元函数的概念10

1.2.3 复合函数11

1.2.4 反函数13

1.2.5 多元函数的概念14

习题1.2(附答案与提示)15

1.3 函数的几种特性与初等函数16

1.3.1 函数的几种特性16

1.3.2 初等函数17

习题1.3(附答案与提示)20

总习题(1)(附答案与提示)23

第2章 极限与连续25

2.1 函数极限的概念25

2.1.1 自变量趋于有限值时函数的极限25

2.1.2 单侧极限28

2.1.3 自变量无限增大时函数的极限29

2.1.4 函数值趋于无穷的情形30

习题2.1(附答案与提示)32

2.2 数列极限的概念34

2.2.1 基本概念34

2.2.2 数列极限与函数极限的关系36

习题2.2(附答案与提示)36

2.3 极限的运算法则38

2.3.1 极限运算法则38

2.3.2 渐近线43

习题2.3(附答案与提示)46

2.4 极限的性质与两个重要极限47

2.4.1 极限的性质47

2.4.2 两个重要极限50

习题2.4(附答案与提示)53

2.5 实数基本定理55

2.5.1 单调有界收敛定理55

2.5.2 闭区间套定理与致密性定理57

2.5.3 柯西收敛准则59

习题2.5(附答案与提示)61

2.6 无穷小与无穷大62

2.6.1 无穷小62

2.6.2 无穷小的比较62

2.6.3 无穷大65

习题2.6(附答案与提示)66

2.7 连续与间断67

2.7.1 函数的连续性68

2.7.2 函数的间断点70

习题2.7(附答案与提示)72

2.8 连续函数的性质74

2.8.1 连续函数的运算74

2.8.2 初等函数的连续性75

2.8.3 有界闭区间上连续函数的性质76

2.8.4 函数的一致连续性79

习题2.8(附答案与提示)81

总习题(2)(附答案与提示)82

第3章 一元函数微分学86

3.1 导数概念86

3.1.1 导数的定义86

3.1.2 导数的几何意义90

习题3.1(附答案与提示)93

3.2 求导法则95

3.2.1 函数和、差、积、商的导数95

3.2.2 复合函数的导数97

3.2.3 反函数的导数99

3.2.4 高阶导数100

习题3.2(附答案与提示)104

3.3 隐函数的导数和参数式求导107

3.3.1 隐函数的导数107

3.3.2 参数式求导109

3.3.3 极坐标式求导111

3.3.4 相关变化率113

习题3.3(附答案与提示)114

3.4 微分116

3.4.1 局部线性化与微分116

3.4.2 微分的运算法则119

3.4.3 高阶微分119

3.4.4 误差估计120

习题3.4(附答案与提示)122

3.5 微分中值定理123

3.5.1 极值概念与费马定理123

3.5.2 微分中值定理125

3.5.3 洛必达法则129

习题3.5(附答案与提示)131

3.6 泰勒公式135

3.6.1 泰勒公式135

3.6.2 几个基本初等函数的麦克劳林公式138

习题3.6(附答案与提示)141

3.7 函数性态的研究143

3.7.1 函数的单调性143

3.7.2 函数极值的判定145

3.7.3 函数的凹凸性146

习题3.7(附答案与提示)150

3.8 最优化问题数学模型154

3.8.1 横梁强度模型154

3.8.2 用料最省模型154

3.8.3 最优路径模型155

3.8.4 运河行船模型156

习题3.8(附答案与提示)157

3.9 求函数零点的牛顿法159

习题3.9(附答案与提示)161

总习题(3)(附答案与提示)161

第4章 一元函数积分学167

4.1 定积分的概念与性质167

4.1.1 定积分的定义167

4.1.2 可积函数类172

4.1.3 定积分的基本性质172

习题4.1(附答案与提示)176

4.2 微积分基本定理178

4.2.1 牛顿-莱布尼兹公式178

4.2.2 变限的定积分与原函数的存在性179

习题4.2(附答案与提示)181

4.3 不定积分183

4.3.1 不定积分的概念与性质183

4.3.2 基本积分表185

习题4.3(附答案与提示)186

4.4 换元积分法188

4.4.1 第一换元法188

4.4.2 第二换元法191

4.4.3 定积分的换元法193

习题4.4(附答案与提示)195

4.5 分部积分法197

4.5.1 不定积分的分部积分法197

4.5.2 定积分的分部积分法199

习题4.5(附答案与提示)201

4.6 有理函数的积分204

4.6.1 有理函数的积分204

4.6.2 三角函数有理式的积分207

习题4.6(附答案与提示)208

4.7 广义积分209

4.7.1 无穷区间上的广义积分209

4.7.2 无界函数的广义积分211

4.7.3 Г-函数与B-函数213

习题4.7(附答案与提示)215

4.8 定积分在几何上的应用216

4.8.1 微元法216

4.8.2 平面图形的面积217

4.8.3 由已知平面截面面积求体积218

4.8.4 旋转体的体积219

4.8.5 光滑平面曲线的弧长与曲率220

4.8.6 旋转体的侧面积223

习题4.8(附答案与提示)225

4.9 定积分在物理上的应用226

4.9.1 变力作功226

4.9.2 质心227

4.9.3 引力230

4.9.4 液体的静压力230

习题4.9(附答案与提示)231

4.10 定积分的近似计算232

4.10.1 矩形法232

4.10.2 梯形法233

4.10.3 抛物线法234

习题4.10(附答案与提示)236

总习题(4)(附答案与提示)236

第5章 微分方程242

5.1 微分方程的基本概念242

习题5.1(附答案与提示)245

5.2 变量可分离方程及齐次方程246

5.2.1 变量可分离方程246

5.2.2 齐次方程248

5.2.3 增长与衰减模型250

习题5.2(附答案与提示)253

5.3 一阶线性微分方程255

5.3.1 线性齐次方程255

5.3.2 线性非齐次方程256

5.3.3 伯努利方程258

习题5.3(附答案与提示)260

5.4 可降阶的高阶方程261

5.4.1 y(n)=f(x)型方程261

5.4.2 y"=f(x,y＇)型方程261

5.4.3 y"=f(y,y＇)型方程262

习题5.4(附答案与提示)266

5.5 二阶微分方程267

5.5.1 振动与二阶微分方程267

5.5.2 合理猜测法269

5.5.3 二阶线性微分方程解的结构271

5.5.4 常数变易法276

习题5.5(附答案与提示)278

5.6 二阶常系数线性微分方程280

5.6.1 常系数线性齐次微分方程280

5.6.2 常系数线性非齐次微分方程284

5.6.3 欧拉方程288

习题5.6(附答案与提示)289

5.7 微分方程组292

5.7.1 微分方程组的基本概念293

5.7.2 常系数线性微分方程组解法举例294

习题5.7(附答案与提示)296

总习题(5)(附答案与提示)296

附录一 积分表300

附录二 几种常用的曲线308

参考文献311